Czy zespół matematyków zrobił duży krok w kierunku odpowiedzi na 160-letnie pytanie z matematyki o wartości 160 lat?
Może. Załoga rozwiązała wiele innych, mniejszych pytań w dziedzinie zwanej teorią liczb. W ten sposób ponownie otworzyli starą aleję, która może ostatecznie doprowadzić do odpowiedzi na stare pytanie: czy hipoteza Riemanna jest poprawna?
Hipoteza Reimanna jest podstawową hipotezą matematyczną, która ma ogromne implikacje dla reszty matematyki. Stanowi podstawę wielu innych pomysłów matematycznych - ale nikt nie wie, czy to prawda. Jego ważność stała się jednym z najbardziej znanych otwartych pytań w matematyce. Jest to jeden z siedmiu „problemów milenijnych” przedstawionych w 2000 roku, z obietnicą, że ktokolwiek je rozwiąże, wygra milion dolarów. (Od tego czasu rozwiązano tylko jeden problem).
Skąd ten pomysł?
W 1859 r. Niemiecki matematyk Bernhard Riemann zaproponował odpowiedź na szczególnie drażliwe równanie matematyczne. Jego hipoteza wygląda następująco: prawdziwa część każdego nietrywialnego zera funkcji zeta Riemanna to 1/2. To dość abstrakcyjne stwierdzenie matematyczne, odnoszące się do liczb, które można umieścić w określonej funkcji matematycznej, aby ta funkcja była równa zero. Ale okazuje się, że ma to ogromne znaczenie, przede wszystkim w odniesieniu do pytań o to, jak często napotykasz liczby pierwsze, gdy liczysz do nieskończoności.
Wrócimy do szczegółów hipotezy później. Ale ważne jest, aby wiedzieć, że jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, odpowiada ona na wiele pytań z matematyki.
„Tak często w teorii liczb zdarza się, że zakładając hipotezę Riemanna, jesteś w stanie udowodnić wszelkiego rodzaju inne wyniki”, Lola Thompson, teoretyk liczb w Oberlin College w Ohio, który nie był zaangażowany powiedział w ostatnich badaniach.
Często powiedziała Live Science, teoretycy liczb najpierw udowodnią, że coś jest prawdą, jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa. Następnie wykorzystają ten dowód jako rodzaj odskoczni w kierunku bardziej złożonego dowodu, który pokazuje, że ich oryginalny wniosek jest prawdziwy, niezależnie od tego, czy hipoteza Riemanna jest prawdziwa.
Fakt, że ta sztuczka działa, powiedziała, przekonuje wielu matematyków, że hipoteza Riemanna musi być prawdziwa.
Ale prawda jest taka, że nikt nie wie na pewno.
Mały krok w kierunku dowodu?
Jak więc ten niewielki zespół matematyków zbliżył nas do rozwiązania?
„To, co zrobiliśmy w naszym artykule”, powiedział Ken Ono, teoretyk liczb z Emory University i współautor nowego dowodu, „czy zmieniliśmy bardzo techniczne kryterium, które jest równoważne z hipotezą Riemanna… i udowodniliśmy dużą część tego. Udowodniliśmy dużą część tego kryterium ”.
„Kryterium równoważne hipotezie Riemanna” w tym przypadku odnosi się do osobnego stwierdzenia, które jest matematycznie równoważne hipotezie Riemanna.
Na pierwszy rzut oka nie jest oczywiste, dlaczego te dwa stwierdzenia są ze sobą powiązane. (Kryterium to ma związek z czymś, co nazywa się „hiperbolicznością wielomianów Jensena”). Ale w latach dwudziestych węgierski matematyk George Pólya udowodnił, że jeśli to kryterium jest prawdziwe, to hipoteza Riemanna jest prawdziwa - i odwrotnie. To stara proponowana droga do udowodnienia hipotezy, ale ta, która została w dużej mierze porzucona.
Ono i jego koledzy w artykule opublikowanym 21 maja w czasopiśmie Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) udowodnili, że w wielu przypadkach kryterium jest prawdziwe.
Ale w matematyce wielu nie wystarczy, aby uznać za dowód. Nadal istnieją przypadki, w których nie wiedzą, czy kryterium jest prawdziwe czy fałszywe.
„To jak grać w Powerball w liczbie milionowej” - powiedział Ono. „I znasz wszystkie liczby, ale ostatnie 20. Jeśli choć jedna z tych 20 ostatnich liczb jest błędna, przegrywasz.
Badacze musieliby opracować jeszcze bardziej zaawansowany dowód, aby wykazać, że kryterium jest prawdziwe we wszystkich przypadkach, dowodząc tym samym hipotezy Riemanna. I nie jest jasne, jak daleko jest taki dowód, powiedział Ono.
Jak duży jest ten papier?
Jeśli chodzi o hipotezę Riemanna, trudno powiedzieć, jak duża jest to sprawa. Wiele zależy od tego, co będzie dalej.
„To tylko jedna z wielu równoważnych sformułowań hipotezy Riemanna” - powiedział Thompson.
Innymi słowy, istnieje wiele innych pomysłów, które, podobnie jak to kryterium, dowodzą, że hipoteza Riemanna jest prawdziwa, gdyby same zostały udowodnione.
„Tak więc naprawdę trudno jest ustalić, jaki jest postęp, ponieważ z jednej strony poczyniono postępy w tym kierunku. Ale istnieje tyle równoważnych sformułowań, że może ten kierunek nie przyniesie hipotezy Riemanna. Może jedna z inne równoważne twierdzenia będą, jeśli ktoś może udowodnić jedno z nich, ”powiedział Thompson.
Jeśli dowody pojawią się na tej ścieżce, prawdopodobnie oznacza to, że Ono i jego koledzy opracowali ważne podstawy do rozwiązania hipotezy Riemanna. Ale jeśli pojawi się gdzie indziej, ten artykuł okaże się mniej ważny.
Matematycy są jednak pod wrażeniem.
„Chociaż pozostaje to dalekie od udowodnienia hipotezy Riemanna, jest to duży krok naprzód” - napisał Encrico Bombieri, teoretyk liczb z Princeton, który nie był zaangażowany w badania zespołu, w towarzyszącym artykule z 23 maja PNAS. „Nie ma wątpliwości, że ten artykuł zainspiruje dalsze fundamentalne prace w innych obszarach teorii liczb, a także w fizyce matematycznej”.
(Bombieri zdobył Medal Fieldsa - najbardziej prestiżową nagrodę w matematyce - w 1974 r., W dużej mierze za prace związane z hipotezą Riemanna).
Co i tak oznacza hipoteza Riemanna?
Obiecałem, że wrócimy do tego. Oto ponownie hipoteza Riemanna: prawdziwa część każdego nietrywialnego zera funkcji zeta Riemanna wynosi 1/2.
Przełammy to zgodnie z tym, jak wyjaśnili to Thompson i Ono.
Po pierwsze, jaka jest funkcja zeta Riemanna?
W matematyce funkcja to związek między różnymi wielkościami matematycznymi. Prosty może wyglądać następująco: y = 2x.
Funkcja zeta Riemanna opiera się na tych samych podstawowych zasadach. Tyle że jest to o wiele bardziej skomplikowane. Oto jak to wygląda.
Jest to suma nieskończonej sekwencji, w której każdy termin - pierwsze kilka to 1/1 ^ s, 1/2 ^ s i 1/3 ^ s - jest dodawany do poprzednich terminów. Te elipsy oznaczają, że seria w funkcji tak trwa, na zawsze.
Teraz możemy odpowiedzieć na drugie pytanie: Czym jest zero funkcji zeta Riemanna?
To jest łatwiejsze. „Zero” funkcji to dowolna liczba, którą można wstawić dla x, która powoduje, że funkcja jest równa zero.
Następne pytanie: Jaka jest „prawdziwa część” jednego z tych zer i co to znaczy, że wynosi 1/2?
Funkcja zeta Riemanna obejmuje to, co matematycy nazywają „liczbami zespolonymi”. Liczba zespolona wygląda następująco: a + b * i.
W tym równaniu „a” i „b” oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Rzeczywista liczba może wynosić od minus 3, do zera, do 4,9234, pi lub 1 miliard. Ale istnieje inny rodzaj liczb: liczby urojone. Wyimaginowane liczby pojawiają się, gdy weźmiesz pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, i są one ważne, pojawiają się we wszystkich kontekstach matematycznych.
Najprostszą urojoną liczbą jest pierwiastek kwadratowy z -1, który jest zapisany jako „i”. Liczba zespolona to liczba rzeczywista („a”) plus inna liczba rzeczywista („b”) razy i. „Prawdziwa część” liczby zespolonej polega na tym, że „a”.
Kilka zer funkcji zeta Riemanna, ujemne liczby całkowite od -10 do 0, nie liczą się do hipotezy Reimanna. Są to uważane za „trywialne” zera, ponieważ są liczbami rzeczywistymi, a nie liczbami zespolonymi. Wszystkie pozostałe zera to „nietrywialne” i liczby zespolone.
Hipoteza Riemanna głosi, że gdy funkcja zeta Riemanna przekracza zero (z wyjątkiem zer od -10 do 0), rzeczywista część liczby zespolonej musi wynosić 1/2.
To małe twierdzenie może nie wydawać się bardzo ważne. Ale to jest. I możemy być trochę mniejsi od rozwiązania tego problemu.
