Mój zmysł fizyczny mówi mi, że prędkość odrzutu jest prędkością ucieczki.
Ta minimalizacja może działać lepiej ze stosunkiem całkowitej zmiany energii układu asteroid plus wyrzuconego materiału do energii wyrzuconego materiału. Równanie rakietowe jest pomocne. Równanie rakiety stanowi zachowanie wyniku pędu
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
gdzie V jest prędkością masy reakcji, a v i m m jest zmianą prędkości i utraty masy „rakiety” lub w tym przypadku asteroidy, a m i v są masą początkową i prędkością obiektu. Ustawiamy v = 0 i otrzymujemy
? v = V (? m / m)
a prędkość zintegrowana w górę wynosi v = Vnn (m_i / m_f), dla m_i masa początkowa, a m_f masa końcowa. Jeśli zmiana masy jest niewielka, mamy
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
a pęd asteroidy na końcu wynosi p ~ = V (m_i - m_f). Teraz pozwalamy V = u - v_e, dla v_e prędkości ucieczki, a u prędkości odrzuconego obiektu. Oznacza to, że V jest prędkością odrzuconego obiektu „w nieskończoności”.
Załóżmy teraz, że chcemy zminimalizować energię kinetyczną asteroidy K = (1/2) p ^ 2 / m_f dla danego wyrzucenia energii kinetycznej E = (1/2) mum ^ 2. Budujemy bezwymiarowy stosunek,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, ważne jest, aby pracować z bezwymiarowym współczynnikiem. Więc minimalizujemy to dla danego? M i obliczamy u. Więc minimalizujemy
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
i jest to zero przy v_e = u. To wydaje się trochę dziwne, biorąc pod uwagę równanie rakietowe, ale omówię to poniżej.
Następnie bierzemy drugą pochodną, aby ustalić, czy jest to maksimum, czy min, i otrzymujemy
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
który przy u = v_e wynosi -2 <0, a więc jest min, czego chcemy. Oczywiste jest również, że u = v_e to minimalna energia kinetyczna, jaką możemy nadać masie.
Brzmi dziwnie, że mamy v ~ = V (m_i / m_f - 1), co dla V = u - v_e wynosi zero przy u = v_e. Jednak dla u = v_e asteroida porusza się, dopóki odrzucony obiekt nie osiągnie nieskończoności. Celem tego jest wytworzenie przesunięcia asteroidy, a gdy odrzucony obiekt osiągnie „nieskończoność”, asteroida osiągnie pewną odległość przesunięcia.
LC
