Matematycy odkryli nowy duży dowód na jeden z najsłynniejszych niesprawdzonych pomysłów w matematyce, znany jako hipoteza podwójnej liczby pierwotnej. Ale droga, którą wybrali, aby znaleźć te dowody, prawdopodobnie nie pomoże udowodnić samej domniemania podwójnej liczby pierwotnej.
Hipoteza o podwójnych liczbach pierwszych polega na tym, jak i kiedy liczby pierwsze - liczby, które można podzielić tylko przez siebie i 1 - pojawiają się na linii liczbowej. „Liczby pierwsze” to liczby pierwsze, które znajdują się dwa kroki od siebie w tej linii: 3 i 5, 5 i 7, 29 i 31, 137 i 139 i tak dalej. Hipoteza o podwójnych liczbach pierwszych mówi, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych i że będziesz się z nimi spotykał bez względu na to, jak daleko sięgniesz linii liczbowej. Stwierdza również, że istnieje nieskończenie wiele par pierwszych z każdą możliwą przerwą między nimi (pary pierwsze, które są w odległości czterech kroków, ośmiu kroków, 200 000 kroków itp.). Matematycy są prawie pewni, że to prawda. Wygląda na to, że to prawda. A gdyby to nie była prawda, oznaczałoby to, że liczby pierwsze nie są tak losowe, jak wszyscy sądzili, co zepsułoby wiele pomysłów na temat tego, jak ogólnie działają liczby. Ale nikt nigdy nie był w stanie tego udowodnić.
Jednak mogą być teraz bliżej niż kiedykolwiek wcześniej. W artykule opublikowanym 12 sierpnia w przedrukowym dzienniku arXiv, jak po raz pierwszy napisał Quanta, dwóch matematyków udowodniło, że hipoteza podwójnej liczby pierwotnej jest prawdziwa - przynajmniej w pewnym rodzaju alternatywnego wszechświata.
To właśnie robią matematycy: pracują nad dużymi dowodami, dowodząc po drodze mniejszych pomysłów. Czasami wnioski wyciągnięte z mniejszych dowodów mogą pomóc w uzyskaniu większego dowodu.
W tym przypadku matematycy Will Sawin z Columbia University i Mark Shusterman z University of Wisconsin udowodnili wersję podwójnej pierwotnej hipotezy dla alternatywnego wszechświata „pól skończonych”: układów liczbowych, które nie idą w nieskończoność jak linia liczb, ale zamiast tego zapętlają się.
Prawdopodobnie codziennie napotykasz skończone pole na tarczy zegara. Idzie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, a następnie zapętla się z powrotem do 1. W tym skończonym polu 3 + 3 wciąż wynosi 6. Ale 3 + 11 = 2
Pola skończone mają wielomiany lub wyrażenia takie jak „4x” lub „3x + 17x ^ 2-4”, powiedział Sawin w Live Science, tak jak zwykłe liczby. Matematycy, powiedział, nauczyli się, że wielomiany nad polami skończonymi zachowują się jak liczby całkowite - liczby całkowite na linii liczbowej. Stwierdzenia, które są prawdziwe o liczbach całkowitych, zwykle polegają na zaufaniu do wielomianów nad polami skończonymi i odwrotnie. I podobnie jak liczby pierwsze występują parami, wielomiany występują parami. Na przykład bliźniacy 3x + 17x ^ 2-4 to 3x + 17x ^ 2-2 i 3x + 17x ^ 2-6. Zaletą wielomianów, powiedział Sawin, jest to, że w przeciwieństwie do liczb całkowitych, kiedy drukujesz je na wykresie, tworzą kształty geometryczne. Na przykład 2x + 1 tworzy wykres, który wygląda następująco:
A 5x + x ^ 2 tworzy wykres, który wygląda następująco:
Ponieważ wielomiany odwzorowują kształty, a nie kropki, które otrzymujesz podczas rysowania pojedynczych liczb pierwszych, możesz użyć geometrii, aby udowodnić rzeczy na temat wielomianów, których nie możesz udowodnić na temat prostych liczb całkowitych.
„Nie byliśmy pierwszymi ludźmi, którzy zauważyli, że można użyć geometrii do zrozumienia skończonych pól”, powiedział Shusterman dla Live Science.
Inni badacze udowodnili mniejsze wersje hipotezy podwójnych liczb pierwszych o pewnych rodzajach wielomianów na polach skończonych. Ale dowód Sawina i Shustermana wymagał od badaczy powrotu i rozpoczęcia od zera pod wieloma względami, powiedział Sawin.
„Mieliśmy spostrzeżenie, które pozwoliło nam wykonać lewę… dzięki czemu geometria była o wiele ładniejsza, dzięki czemu ma zastosowanie we wszystkich tych przypadkach” - powiedział Shusterman.
Ta geometryczna sztuczka, jak powiedział, doprowadziła do ich przełomu: udowodnienia, że ta specjalna wersja hipotezy o dwóch liczbach pierwszych jest prawdziwa dla wszystkich wielomianów na polach skończonych, a nie tylko niektórych.
Zła wiadomość, powiedział Sawin, polega na tym, że ponieważ ich sztuczka opiera się w dużej mierze na geometrii, prawdopodobnie nie będzie można jej użyć do udowodnienia samej domniemania podwójnej liczby pierwotnej. Podstawowa matematyka jest po prostu zbyt inna.
Shusterman powiedział jednak, że udowodnienie, że sprawa pól skończonych jest nowym dowodem do dodania do stosu, drażni matematyków możliwością, że dowód, na który wszyscy czekają, jest gdzieś tam.
To tak, jakby chcieli zobaczyć szczyt wysokiej stromej góry i zamiast tego wciągnęli się na inną górę w pobliżu. Prawie widzą odległy szczyt, ale jest on spowity chmurami. A droga, którą wybrali na szczyt drugiej góry, prawdopodobnie nie zadziała na górze, którą naprawdę są zainteresowani.
Shusterman powiedział, że ma nadzieję kontynuować współpracę z Sawinem nad problemem podwójnych liczb pierwszych i że zawsze jest możliwe, że coś, czego nauczyli się w tworzeniu tego dowodu, okaże się ważne dla udowodnienia hipotezy o podwójnych liczbach pierwszych.
