„Do nieskończoności i poza nią!”
Czy zastanawiałeś się nawet nad słynnym hasłem Buzza Lightyeara z filmów „Toy Story”? Prawdopodobnie nie. Ale może czasem spojrzałeś na nocne niebo i zastanawiałeś się nad naturą samej nieskończoności.
Nieskończoność to dziwna koncepcja, w której ludzki mózg ma trudności z zapełnieniem ograniczonego zrozumienia. Mówimy, że wszechświat może być nieskończony, ale czy naprawdę może trwać wiecznie? Albo cyfry pi po przecinku - czy faktycznie biegają bez końca, zawsze dając nam o wiele większą precyzję co do stosunku obwodu do promienia? I czy Buzz może mieć rację? Czy istnieje coś poza nieskończonością?
Aby poradzić sobie z tymi szalonymi spekulacjami, Live Science zwróciła się o pomoc do matematyka Henry'ego Towsnera z University of Pennsylvania w Filadelfii, który był na tyle uprzejmy, aby odpowiedzieć na pytanie: „Czy potrafisz policzyć po nieskończoności?”. (Uwaga: to będzie trudne.)
„Nieskończoność”, powiedział Towsner, siedzi w dziwnym miejscu: większość ludzi czuje, że ma trochę intuicji na temat tej koncepcji, ale im więcej o tym myślą, tym dziwniej się robi.
Z drugiej strony matematycy często nie myślą o nieskończoności jako o samej koncepcji, dodał. Zamiast tego używają różnych sposobów myślenia o tym, aby uzyskać dostęp do wielu aspektów.
Na przykład istnieją różne rozmiary nieskończoności. Zostało to udowodnione przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec 1800 roku, zgodnie z historią z University of St Andrews w Szkocji.
Cantor wiedział, że liczby naturalne - czyli liczby całkowite dodatnie, takie jak 1, 4, 27, 56 i 15 687 - trwają wiecznie. Są nieskończone i są też tym, czego używamy do liczenia rzeczy, więc zdefiniował je jako „niezliczone nieskończone”, zgodnie z pomocną stroną o historii, matematyce i innych tematach od edukacyjnego rysownika Charlesa Fisher Coopera.
Grupy licznie nieskończonych liczb mają kilka interesujących właściwości. Na przykład liczby parzyste (2, 4, 6 itd.) Są również w nieskończoność nieskończone. I chociaż technicznie jest ich o połowę mniej niż to, co obejmuje pełny zestaw liczb naturalnych, wciąż są one tym samym rodzajem nieskończoności.
Innymi słowy, możesz umieścić wszystkie liczby parzyste i wszystkie liczby naturalne obok siebie w dwóch kolumnach i obie kolumny przejdą do nieskończoności, ale mają one tę samą „długość” nieskończoności. Oznacza to, że połowa policzalnej nieskończoności to wciąż nieskończoność.
Ale wielkim spostrzeżeniem Cantora było uświadomienie sobie, że istnieją inne zbiory liczb, które są niepoliczalnie nieskończone. Liczby rzeczywiste - które obejmują liczby naturalne, a także ułamki i liczby niewymierne, takie jak pi - są bardziej nieskończone niż liczby naturalne. (Jeśli chcesz wiedzieć, jak to zrobił Cantor i poradzić sobie z pewną notacją matematyczną, możesz sprawdzić ten arkusz roboczy z University of Maine.)
Gdyby ułożyć wszystkie liczby naturalne i wszystkie liczby rzeczywiste obok siebie w dwóch kolumnach, liczby rzeczywiste rozciągnęłyby się poza nieskończoność liczb naturalnych. Później Cantor oszalał, prawdopodobnie z powodów niezwiązanych z jego pracą nad nieskończonością, według Coopera.
Co się liczy
Wracając do pytania o liczenie przeszłości nieskończoności. „Matematyka sprawia, że pytasz:„ Co to tak naprawdę oznacza? ”, Powiedział Towsner. „Co masz na myśli, licząc przeszłość nieskończoności?”
Aby podejść do tego problemu, Towsner mówił o liczbach porządkowych. W przeciwieństwie do liczb głównych (1, 2, 3 itd.), Które mówią, ile rzeczy jest w zbiorze, liczby porządkowe są określone przez ich pozycje (pierwsza, druga, trzecia itd.), A także zostały wprowadzone do matematyki przez Cantor, według strony matematycznej Wolfram MathWorld.
W liczbach porządkowych znajduje się koncepcja zwana omega, oznaczona grecką literą ω, powiedział Towsner. Symbol ω jest zdefiniowany jako rzecz, która występuje po wszystkich innych liczbach naturalnych - lub, jak to nazwał Cantor, pierwsza transfinitowa liczba porządkowa.
Ale jedną z rzeczy w liczbach jest to, że zawsze możesz dodać kolejną na końcu, powiedział Towsner. Jest więc coś takiego jak ω + 1 i ω + 2, a nawet ω + ω. (Jeśli zastanawiasz się, w końcu trafiłeś liczbę o nazwie ω1, która jest znana jako pierwsza niepoliczalna liczba porządkowa.)
A ponieważ liczenie jest w pewnym sensie jak dodawanie dodatkowych liczb, koncepcje te pozwalają w pewien sposób policzyć przeszłość nieskończoności, powiedział Towsner.
Dodał, że dziwność tego wszystkiego jest jednym z powodów, dla których matematycy nalegają na rygorystyczne zdefiniowanie ich terminów. Jeśli wszystko nie jest w porządku, trudno jest oddzielić naszą normalną ludzką intuicję od tego, co można udowodnić matematycznie.
„Matematyka mówi ci, głęboko się zastanawiam, co się liczy?” - powiedział Towsner.
Dla nas, zwykłych śmiertelników, te pomysły mogą być trudne do pełnego obliczenia. Jak dokładnie pracujący matematycy radzą sobie z tym wszystkim śmiesznym biznesem w swoich codziennych badaniach?
„Wiele z tego to praktyka” - powiedział Towsner. „Rozwijasz nowe intuicje z ujawnieniem, a gdy intuicja zawodzi, możesz powiedzieć:„ Mówimy o tym dokładnym rygorystycznym dowodzie krok po kroku ”. Więc jeśli ten dowód jest zaskakujący, nadal możemy sprawdzić, czy jest poprawny, a następnie nauczyć się rozwijać wokół niego nową intuicję ”.
